数据结构和算法设计专题之—判断单链表中是否有环，环的长度，环的入口节点

题目：

给定一个单链表，只给出头指针head：

1、如何判断是否存在环？
2、如何知道环的长度？
3、如何找出环的连接点在哪里？
4、带环链表的长度是多少？

解法：

1、对于问题1，使用追赶的方法，设定两个指针slow、fast，从头指针开始，每次分别前进1步、2步。如存在环，则两者相遇；如不存在环，fast遇到NULL退出。

2、对于问题2，记录下问题1的碰撞点p，slow、fast从该点开始，再次碰撞所走过的操作数就是环的长度s。

3、问题3：有定理：碰撞点p到连接点的距离=头指针到连接点的距离，因此，分别从碰撞点、头指针开始走，相遇的那个点就是连接点。(证明在后面附注)

4、问题3中已经求出连接点距离头指针的长度，加上问题2中求出的环的长度，二者之和就是带环单链表的长度

判断是否存在环的程序：

bool IsExitsLoop(slist *head)  
{  
    slist *slow = head, *fast = head;  
    while ( fast && fast->next )   
    {  
        slow = slow->next;  
        fast = fast->next->next;  
        if ( slow == fast ) break;  
    }    
    return !(fast == NULL || fast->next == NULL);  
}

寻找环连接点（入口点）的程序：

slist* FindLoopPort(slist *head)  
{  
    slist *slow = head, *fast = head;    
    while ( fast && fast->next )   
    {  
        slow = slow->next;  
        fast = fast->next->next;  
        if ( slow == fast ) break;  
    }    
    if (fast == NULL || fast->next == NULL)  
        return NULL;  
    slow = head;  
    while (slow != fast)  
    {  
         slow = slow->next;  
         fast = fast->next;  
    }  
    return slow;  
}

亦可以用类似与hash表的方法，即设立一个数组，将链表结点中的值做数组下标，当赋值冲突时就是环的接入点

证明题：

对于一个顺时针的环，有P,Q两点，且两点相距为N,同时，P每向前移动一步，Q就向前以东两步，已知环的周长是L,问P,Q两点相遇在哪点上？如下图所示：P点是环的入口点

假设P,Q两点相遇时，P点移动的距离是X,则有以下等式：

X-N = 2*X – L;

=>X= L-N

那么我可以从上图看到相遇点离入口点的距离为：L-(L-N)=N

综上所述：
假设单链表的总长度为L，头结点到环入口的距离为a，环入口到快慢指针相遇的结点距离为x，环的长度为r，慢指针总共走了s步，则快指针走了2s步。另外，快指针要追上慢指针的话快指针至少要在环里面转了一圈多(假设转了n圈加x的距离)，得到以下关系：
s = a + x
2s = a + nr + x
=>a + x = nr
=>a = nr – x

由上式可知：若在头结点和相遇结点分别设一指针，同步(单步)前进，则最后一定相遇在环入口结点

通过上面的证明题发现数学知识在编程世界中真的很重要呀~~

总结：我们看到这里面有一个核心的地方就是第一个问题，判断有没有环的情况，采用了两个指针：快指针和慢指针，这个在处理一些链表的问题中尤其重要，比如下面的两道关于链表的题目：

第一题：已知单链表的头指针，查找到倒数第K个节点

这道题的通俗的解法就是先遍历一边链表，得到链表的长度N,然后再从头开始遍历N-K个节点即可

但是现在如果要求只遍历一遍链表的话，该怎么操作呢？

这时候就可以借助快指针和慢指针了

我们定义一个快指针P和慢指针Q,先让P指针走到K个节点位置，然后Q指针从头指针开始和P一起移动，当P移动到尾部的时候，那么此时Q节点所在的位置就是倒数第K个节点。

第二题：已知单链表的头结点，查找到链表的中间节点

这道题的通俗的解法和上面的方法一样，就是先遍历一边链表，得到链表的长度N，然后再次遍历N/2个节点即可

但是现在同样的如果要求之遍历一边链表的话，该怎么操作呢？

这时候我们同样可以借助快指针和慢指针了